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4. 三次元的に扱う柱と梁
4.2 断面図形の幾何学的定数
演習例題 4-1
(1) 幅ｂ、高さｈの矩形断面の梁において、高さの中央を通る水平軸に関する断面二次モーメントは、
である。この式を、積分法を使って導け。
この式は、材料力学では常識的な公式として頻繁に応用されます。計算原理は式(4.6)と(4.7)です。一般的な断面の多くは、幾つかの矩形断面を組み合わせて構成します。積分問題を解くことに挑戦して下さい。最初のｙ座標の原点を矩形の底辺に置いてから重心位置に移す方法で公式を誘導して下さい。
図4.6 直角三角形での断面計算
(2) 三角形の二辺を座標軸に合わせた直角三角形の幾何学的定数を表す代数式を求めよ。解を示しておきます。式の誘導に挑戦して下さい。
解説：
手計算で任意の形状の断面定数を求めるときは、元の図形を幾つかの矩形と直角三角形の集合に分けます。コンピュータを使うときは、任意の向きの三角形の集合だけで計算することができます。
図4.7 パイプ断面
(3) 外径Ｄ、内径ｄのパイプ断面の断面二次モーメントの計算式を求めよ。
解説：
ブレーンストーミングの例題として取り上げました。直径ｄ、薄い肉厚ｔのパイプ断面は、面積がｄｔπです。これをコマの外周と考えると、単位厚のリングの慣性モーメントが簡単に計算できます。断面二次モーメントは、この1/2です(4.2.5項参照)。充実円断面では、tを変数として積分すれば得られます。