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2. 論理演算 | ||||||
2.5 変数を三つ以上使う演算 | ||||||
2.5.10 幾つかの演算の公式 | ||||||
(1) 恒真式(トートロジー) (P∨ などの形になるものを恒真式と言い、代数計算では(a÷a)=1 に相当します。この形が成分に現れたら、消去できます。 (2)矛盾式 (P∧ この形は、矛盾式です。この形が最終的にできる論理式は矛盾式であり、論理式として実用的な意味はありません。 (3) 命題と記号の重複消去 二重否定律: ¬(¬P)≡P 同じ命題の連言: P∧P≡P 同じ命題の選言: P∨P≡P (4) 分配律 代数計算の分配律の例は、「a(b+c)=ab+ac」です。これと似たものが、論理積∧と論理和∨を使う式でも成り立ちます(表2.8、表2.9を参照)。 (5) 双対原理 双対原理とは、「或る連続連言式、あるいは連続選言式において、 @:式の中のすべての連言と選言とを交換し、 A:式のなかのすべての命題の肯定と否定とを交換するならば、 B:このようにして得られた論理式は、」最初の論理式の否定と対等である」 と言うものです。 連続連言式とは、例えば; P∧Q∧R… 連続選言式とは、例えば; P∨Q∨R… 双対原理は、上の場合、次のようになります; ¬(P∧Q∧R)≡ ¬(P∨Q∨R)≡ 二つの命題に関する双対原理が、ド・モルガンの法則です(表 2-6も参照)。 ¬(P∧Q)≡ ¬(P∨Q)≡ 連続連言の連続選言式は、例えば次のような式です。これを、選言的標準形と言います; (P∧Q)∨(R∧S)∨(…∧…)∨… 連続選言の連続連言式は、例えば次のような式です。これを、連言的標準形と言います; (P∨Q)∧(R∨S)∧(…∨…)∧… (6) 内含の式(P⇒Q)を選言的標準形で表す-その1 一つの公式は「(P⇒Q )≡ ( (P⇒Q)≡(P∧Q)∨( 右辺に分配律などを適用して変換していくと; (P⇒Q)≡(P∧Q)∨[ ≡(P∧Q)∨ ≡(P∨ ≡(Q∨ ∴ (P⇒Q)≡( この、式の変換の進め方が演繹です。最後に∴(ゆえに)で締めくくったことが証明です。表 2-3 、表2.6、表2.7の、式番号11の結果を確認して下さい。 (7) 内含の式(P⇒Q)を選言的標準形で表す-その2 もう一つ別の証明の導き方があります。まず、(P⇒Q)の否定を選言的標準形で表します。この場合には、一つしか項がないので ¬(P⇒Q )≡(P∧ このまま否定を取った表し方もあります。すなわち; (P⇒Q)≡¬(P∧ しかし、双対原理を使えば、標準の表し方が得られます; ∴(P⇒Q)≡( (8) その他
科学書刊株式会社:電子版 「橋梁&都市 PROJECT: 2012」 | ||||||
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