アップルパイの論理(前項文献のQ23より)
「論理的であるか詩人である者は、論理的であるかアップルパイ好きである」。
これは真実と言えるでしょうか？ 真実と言う意味は、演算結果がトートロジーになることであって、元になる式が恒真式であることを意味します。 |
三つの論理変数をＰ，Ｑ，Ｒとしたとき、変数の取り得る真偽の組み合わせが８通りになりますので、真偽表で追いかける演算は８列を使います。
表4.5 問題文を元にした推論の結果 |
|
手順番号 |
記号式と演算 |
真理値表 |
説明 |
命題変数 |
条
件 |
Ｐ |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
論理的 |
Ｑ |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
詩人 |
Ｒ
| 1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
アップルパイ好き |
設
問
の
演
算 |
@ |
(Ｐ∨Ｑ) |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
A |
(Ｐ∨Ｒ) |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
B |
(Ｐ∨Ｑ)⇒(Ｐ∨Ｒ) |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
C |
(Ｑ⇒Ｒ) |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
D |
((Ｐ∨Ｑ)⇒(Ｐ∨Ｒ))⇒(Ｑ⇒Ｒ) |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
この真偽値表の演算結果は、第６列だけが偽(0)です。これは、連続連言式（Ｐ∧Ｑ∧Ｒ）の否定と同じですので、双対原理を使えば、連続選言式（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）と同値です。
問題の続き：上の結果を判断して、下の論理式の真偽を判定して下さい。
なお、参考のため、問題の文を論理式で表したものを右端に書きました。
(a) 詩人はアップルパイ好き。 （Ｑ⇒Ｒ）
(b) アップル好きでないなら詩人ではない。 （Ｒ⇒Ｑ）
(c) 論理的でない詩人はアップルパイ好き。 （Ｐ∧Ｑ）⇒Ｒ
(d) 詩人でない論理的な人はアップルパイ好き。 （Ｐ∧Ｑ）⇒Ｒ
(e) アップルパイ好きでない論理的な人は詩人。 （Ｐ∧Ｒ）⇒Ｑ
(f) アップルパイ好きでない詩人は論理的。 （Ｑ∧Ｒ）⇒Ｐ
(g) 論理的でなく、かつアップルパイ好きでない人は、詩人。 （Ｐ∧Ｒ）⇒Ｑ
(h) 論理的でなく、かつアップルパイ好きでない人は、詩人ではない（Ｐ∧Ｒ）⇒Ｑ
|
８通りの設問の真偽は、「D ならば(a)である」「 Dならば(b)である」…の演算を個別にして、トートロジーであれれば真であると判定します。個別の演算は、表4.5のように進めるのですが、表4.6は、途中経過の計算式を示すことを省いて、「式の真偽値表計算」に結果を示しました。設問の真偽値表の計算がトートロジーであれば、この設問はホント（真）です。
表4.6 設問の真偽値の判定 |
設問 |
記号式と演算 |
式の真偽値表計算 |
設問の真偽値表の計算 |
判定 |
(a) |
Ｑ⇒Ｒ |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
ウソ |
(b) |
Ｒ⇒Ｑ
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
ウソ |
(c) |
（Ｐ∧Ｑ）⇒Ｒ |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
トートロジーである |
(d) |
（Ｐ∧Ｑ）⇒Ｒ |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
ウソ |
(e) |
（Ｐ∧Ｒ）⇒Ｑ |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
ウソ |
(f) |
（Ｑ∧Ｒ）⇒Ｐ |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
トートロジーである |
(g) |
Ｐ∧Ｒ）⇒Ｑ
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
ウソ |
(h) |
（Ｐ∧Ｒ）⇒Ｑ |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
トートロジーである |
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