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2.　論理演算

2.5　変数を三つ以上使う演算

2.5.10　幾つかの演算の公式

(1) 恒真式（トートロジー）　
　　　  　　　（Ｐ∨Ｐ），　（Ｐ≡Ｐ），　（Ｐ⇒Ｐ）
などの形になるものを恒真式と言い、代数計算では（ａ÷ａ）＝１　に相当します。この形が成分に現れたら、消去できます。

(2)矛盾式
 　　　（Ｐ∧Ｐ）
この形は、矛盾式です。この形が最終的にできる論理式は矛盾式であり、論理式として実用的な意味はありません。

(3)　命題と記号の重複消去
 　　　　　　　二重否定律：　　　¬(¬Ｐ)≡Ｐ
 　　　　同じ命題の連言：　　　　　Ｐ∧Ｐ≡Ｐ
 　　　　同じ命題の選言：　　　　　Ｐ∨Ｐ≡Ｐ

(4)　分配律
　代数計算の分配律の例は、「ａ(ｂ＋ｃ)＝ａｂ＋ａｃ」です。これと似たものが、論理積∧と論理和∨を使う式でも成り立ちます（表2.8、表2.9を参照）。

(5)　双対原理
　双対原理とは、「或る連続連言式、あるいは連続選言式において、
 　　@：式の中のすべての連言と選言とを交換し、
 　　A：式のなかのすべての命題の肯定と否定とを交換するならば、
 　　B：このようにして得られた論理式は、」最初の論理式の否定と対等である」
と言うものです。
連続連言式とは、例えば；　Ｐ∧Ｑ∧Ｒ…
連続選言式とは、例えば；　Ｐ∨Ｑ∨Ｒ…
双対原理は、上の場合、次のようになります；
 　　　　¬(Ｐ∧Ｑ∧Ｒ)≡Ｐ∨Ｑ∨Ｒ
 　　　　¬(Ｐ∨Ｑ∨Ｒ)≡Ｐ∧Ｑ∧Ｒ
二つの命題に関する双対原理が、ド・モルガンの法則です（表 2-6も参照）。
 　　　　¬(Ｐ∧Ｑ)≡Ｐ∨Ｑ
 　　　　¬(Ｐ∨Ｑ)≡Ｐ∧Ｑ
連続連言の連続選言式は、例えば次のような式です。これを、選言的標準形と言います；
 　　　　(Ｐ∧Ｑ)∨(Ｒ∧Ｓ)∨(…∧…)∨…
連続選言の連続連言式は、例えば次のような式です。これを、連言的標準形と言います；
　　　　  　　　　(Ｐ∨Ｑ)∧(Ｒ∨Ｓ)∧(…∨…)∧…

(6)　内含の式（Ｐ⇒Ｑ）を選言的標準形で表す-その1
　一つの公式は「(Ｐ⇒Ｑ )≡ (Ｐ∨Ｑ)」があります。これを証明する一つの方法を示します。左辺の演算組み合わせは、表2.3に示すように(1,0,1,1)の4通りです。これを(1,0,0,0)、(0,0,1,0)、(0,0,0,1)の三つの演算結果の論理和で合成すると考えて、下の式を立てます。
 　　　　(Ｐ⇒Ｑ)≡(Ｐ∧Ｑ)∨(Ｐ∧Ｑ)∨(Ｐ∧Ｑ)
右辺に分配律などを適用して変換していくと；
 　　　　(Ｐ⇒Ｑ)≡(Ｐ∧Ｑ)∨[Ｐ∧(Ｑ∨Ｑ)]
 　　　　≡(Ｐ∧Ｑ)∨Ｐ
 　　　　≡(Ｐ∨Ｐ)∧（Ｑ∨Ｐ）
 　　　　≡(Ｑ∨Ｐ)
 　　∴ (Ｐ⇒Ｑ)≡(Ｐ style='letter-spacing:.1pt∨Ｑ)　　　……証明終り
この、式の変換の進め方が演繹です。最後に∴（ゆえに）で締めくくったことが証明です。表 2-3 、表2.6、表2.7の、式番号11の結果を確認して下さい。

(7)　内含の式（Ｐ⇒Ｑ）を選言的標準形で表す-その２
　もう一つ別の証明の導き方があります。まず、（Ｐ⇒Ｑ）の否定を選言的標準形で表します。この場合には、一つしか項がないので  　　　　¬(Ｐ⇒Ｑ )≡(Ｐ∧Ｑ)
　このまま否定を取った表し方もあります。すなわち；
 　　　　(Ｐ⇒Ｑ)≡¬(Ｐ∧Ｑ)
　しかし、双対原理を使えば、標準の表し方が得られます；
 　　　∴(Ｐ⇒Ｑ)≡(Ｐ∨Ｑ)

(8)　その他
表2.10　二命題の多項式で表されるその他の論理法則

記号式　　 (*1)

文章での表し方

備　　考

Ｐ⇒ (Ｐ∨Ｑ)
(Ｐ∧Ｑ) ⇒Ｐ
Ｐ⇒ [Ｑ⇒(Ｐ∧Ｑ)]
Ｐ⇒ (Ｑ⇒Ｐ)
[(Ｐ⇒Ｑ)∧(Ｐ⇒Ｑ)] ⇒Ｐ
[Ｐ∧(Ｐ∨Ｑ))≡Ｐ
[Ｐ∨(Ｐ∧Ｑ)]≡Ｐ
[(Ｐ∧Ｑ)∨(Ｐ∧Ｑ)]≡Ｐ
[(Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｑ)]≡Ｐ
[(Ｐ⇒Ｑ)∧Ｐ] ⇒Ｑ
[(Ｐ⇒Ｑ)∧Ｑ] ⇒Ｐ		 トートロジー
トートロジー
トートロジー
トートロジー
Ｐならば、ＱでかつＱでない。ゆえにＰでない。　　
Ｑが何であっても、Ｐが残る。Ｑが吸収される。
Ｑが何であっても、Ｐが残る。Ｑが吸収される。
Ｑが何であっても、Ｐが残る。Ｑが吸収される。
Ｑが何であっても、Ｐが残る。Ｑが吸収される。
ＰならばＱである。Ｐである。ゆえにＱである。
ＰならばＱである。Ｑでない。ゆえにＰでない。 		(ＰＱ)について対称
(ＰＱ)について対称
(ＰＱ)について対称
 
背理法
吸収律
吸収律
吸収律
吸収律
肯定式 (modus ponens)
否定式 (modus tollens)
科学書刊株式会社:電子版　「橋梁＆都市 PROJECT: 2012」
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